matrisin tanımı MATRİSİN TANIMI matrisin tanimi MATRISIN TANIMI Matrisin tanımı

Matrisin tanımı

Matrisin tanımı
DETERMİNANTLAR
Determinantlar matris teorisinin gelişmesinde büyük rol oynadığı muhakkaktır. Determinantlar tekil olmayan matrislerin karakterizasyonunda, ayrıca lineer denklem sistemlerinin çözümlerinde ve alt uzayların boyutlarını hesaplamada kolaylıklar sağlar. Ayrıca determinantlar, Analizde vektörel çarpımları, Jacobiyen ve Wronskiyenleri ifade etmekte kullanılır.
Determinantların Elemanter Özellikleri
Bu kısımda, bir nxn kare matrisin determinantını tanımlayacağız ve bu determinantların hesaplanması için bir yöntem vereceğiz. İlk olarak 2x2 bir matrisin determinantının tanımını ve özelliklerini veriyoruz.
a₁₁, a_12,a₂₁, a₂₂ reel sayılar olmak üzere 2x2 tipinden bir


matrisinin determinantı

formülü ile tanımlanan bir reel sayıdır.
Hemen not edelim ki; determinant her bir 2x2 matrisine bir reel sayı karşılık getiren bir fonksiyondur. Bu fonksiyon, ilk üçü bir 2x2 matrisin üzerinde satı işlemlerinin etkin olduğu, aşağıdaki dört önemli özelliğe sahiptir:
(i) Eğer B matrisi, bir k reel sayısı ile A matrisinin bir satırının çarpılması ile A matrisinden elde edilen bir matris ise, o taktirde
                                                                              dır
(ii) Eğer B matrisi, A matrisinin satırlarının yer değiştirilmesi ile A’dan elde edilen bir matris ise, o zaman
’dır.

(iii) Eğer B matrisi; A’nın bir satırının bir skaler katının A’nın diğer satırına ilave edilmesi ile A matrisinden elde edilen bir matrisi ise, o zaman
’dır.
(iv)
’dır.
Bu dört özelliğin sağlandığını kontrol etmek için son derece kolaydır.
Örneğin
ise, o takdirde
olur. Bu ise, bize (i) özelliğinin doğruluğunu gösterir. Eğer
ise, o takdirde
olup bu da (iii) ün doğruluğunu gösterir.
Yukarıdaki dört özellik, bir 2x2 kare matrisin determinantını karakterize etmesi açısından son derece önemlidir. Yani determinant fonksiyonu, her bir 2x2 matrise bir reel sayıyı karşılık getiren ve yukarıdaki dört özelliğe sahip olan tek fonksiyondur.
Teorem 4.1. Determinant fonksiyonu; 2x2 matrislerin kümesinden R reel sayılar kümesi içine tanımlanan (i), (ii), (iii) ve (iv) özelliklerine sahip tek fonksiyondur.
İspat: f nin her bir 2x2 A matrisini bir f(A) reel sayısına karşılık getiren bir fonksiyon olduğunu ve aynı zamanda (i), (ii), (iii) ve (iv) özelliklerine sahip bir fonksiyon olduğunu varsayalım. Yani kabul edelim ki;
(i) B matrisi, bir k reel sayısı ile A’nın bir satırını çarpmakla A’dan elde edilen bir matris olduğu zaman
f (B) = k.f (A)
(ii) B matrisi, A’nın satırlarının yer değiştirilmesi ile A’dan elde edilen bir matris olduğunda
f (B) = -f (A)
(iii) B matrisi, A’nın bir satırının bir skaler katının A’nın başka bir satırına ilave edilmesi ile A’dan elde edilen bir matris olduğunda
f (B) = f (A)
(iv)
olsun. Buna göre; biz her 2x2 matris için f (A) = detA olduğunu göstermeliyiz.
olsun. Eğer ise, o takdirde
olur. Eğer ise, o zaman
olur. Böylece her iki durumda da iddia edildiği gibi eşitliği gösterilmiş olur.
Teorem 4.1’i aşağıdaki gibi nxn mertebeli kare matrislere genelleştirmek mümkündür:
Teorem 4.2. Her nxn matrise bir reel sayıyı karşılıklı getiren ve aşağıdaki özelliklere sahip olan bir ve yalnızca bir fonksiyon, det vardır.
(i) B matrisi; verilen bir nxn A matrisinin bir satırının bir reel sayısı ile çarpılması sonucu A matrisinden elde edildiği her zaman
(ii) B matrisi; verilen nxn A matrisinin herhangi iki satırının yer değiştirilmesi ile A’dan elde edildiği her zaman
(iii) B, nxn A matrisinin bir satırının bir skaler katının diğer bir satıra ilave edilmesi ile A’dan elde edilen matris olduğunda
(iv) I, nxn birim matris olmak üzere
’dir.
Teorem 4.2’de varlığı ve tekliği iddia edilen det fonksiyonuna, nxn determinant fonksiyonu denir. Her bir nxn A matrisi için detA reel sayısına A matrisinin determinantı denir.
Hemen belirtelim ki; Teorem 4.2 deki (i), (ii) ve (iii) özellikleri ileride göstereceğimiz gibi satır işlemlerini kullanarak determinantı hesaplamak için kolaylık sağlar.
Şimdi vereceğimiz teorem determinant fonksiyonunun iki faydalı özelliğini ifade eder.
Teorem 4.3. A bir nxn kare matris olsun. Buna göre
(i) Eğer A matrisinin iki satırı eşit ise, o zaman ’dır.
(ii) Eğer A matrisi bir satırına sahipse, o zaman ’dır.
İspat: (i) A matrisinin iki satırının eşit olduğunu farzedelim. B matrisi eşit satırların yer değiştirilmesi ile A dan elde edilen bir matris olsun. Bu halde Teorem 4.2’nin (ii) özelliğinden dolayı yazarız. Halbuki yer değiştirilen satırları eşit olduğundan dir. Sonuç olarak buradan olduğu görülür. Böylece
ifadesinden bulunur ve bu (i) kısmını ispatlar.
(ii) Şimdi ise, a matrisinin bir satırının sıfır olduğunu varsayalım. A’nın herhangi bir başka satırını seçelim ve onu bir B matrisi elde etmek için sıfır satırına ilave edelim. Bu durumda Teorem 4.2 (iii) den yazarız. Halbuki B matrisi iki eşit satıra sahip olduğundan (i) den yazmak mümkündür. Bundan dolayı olur.

Örnek 4.1.
matrisinin determinantı sıfırdır. Çünkü birinci ve dördüncü satırları eşittir.
Keza
matrisinin determinantı da sıfırdır. Çünkü B matrisinin dördüncü satırı sıfır satırıdır. Özel olarak determinantlarının hesaplanması çok kolay olan matrisler vardır. Bunları teoremler halinde veriyoruz.
Teorem 4.4. Bir köşegen matrisin determinantı matrisin köşegen elemanlarının çarpımına eşittir.
İspat:
olsun. Teorem 4.2. (i) özelliğini tekrar tekrar kullanarak

elde ederiz.
Teorem 4.5. Bir üst üçgen (yada alt üçgen) matrisin determinantı, matrisin köşegen elemanlarının çarpımına eşittir.
İspat: İspatımızı, üst üçgen matris için yapıyoruz. Benzer düşünce ile alt üçgen matrisler için ispat yapılabilir.
olsun. Teorem 4.2 nin (i) ve (iii) ifadelerini tekrar tekrar kullanarak;
yazarız.
Buradan verilen bir nxn matrisin determinantını hesaplamak için bir yöntem elde etmek mümkündür. Şöyle ki;
(i) Verilen nxn kare matrisi, satır işlemleri kullanılarak bir üst (yada alt) üçgen matris haline getirmek
(ii) Üst (yada alt) üçgen matrisin determinantı (Teorem 4.5 den) “köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir” ifadesinin göz önüne almak yeterlidir.
Örnek 4.2.
matrisinin determinantını hesaplayalım.


4.2. Minörler ile Determinantların Hesaplanması
bir önceki kesimde satır işlemlerini kullanarak bir nxn kare matrisin determinantının nasıl hesaplandığını gösterdik. Bu kesimde determinantları hesaplamak için başka bir yöntem vereceğiz. Herhangi bir nxn kare matrisin determinantını, (n-1)x(n-1) matrislerin determinantları cinsinden ifade eden bir formül vereceğiz.
bir nxn kare matris olsun. A matrisinin i-yinci satır ve j-inci sütununun silinmesiyle elde edilen matrise A matrisinin alt matrisi denir ve A_ij ile gösterilir.
Örnek 4.3.
matrisini göz önüne alırsak, bu matrisin bazı alt matrisleri
şeklindedir.
A matrisinin alt matrislerinin determinantlarına A nın minörleri denir ve detA_ij şeklinde gösterilir.
işaretli minörüne, a_ij elemanının kofaktörü denir ve ile gösterilir.
Örnek 4.4. Yine aşağıdaki gibi 3x3 tipinde genel bir
matrisini göz önüne alalım. Buna göre
olup,
şeklindedir. Buna göre 3x3 tipindeki bir A matrisinin determinantı

olarak hesaplanabilir.
Bu verdiğimiz örneğin, nxn kare matrisler için aşağıdaki gibi formülüze edebiliriz:
A=(a_ij) nxn tipinde bir kare matris olmak üzere A matrisinin determinant değeri, A matrisinin bir satırındaki (veya sütunundaki) her elemanının kendi kofaktörü ie çarpımlarını toplayarak bulunur. Yani
yada
örnek 4.5. Aşağıda verilen
matrisinin bütün elemanlarına karşılık gelen kofaktörlerini bulunuz ve bu kofaktörlerden faydalanarak determinant değerini hesaplayınız.
Çözüm:





olup, böylece
yada
bulunur. Burada hemen hatırlatalım ki; hangi satır yada hangi sütuna göre açılırsa açılsın matrisin determinant değeri değişmez.
Teorem 4.6. Bir A kare matrisinin determinantı ile A nın transpozunun determinant değeri aynıdır. Yani
dir.
Teorem 4.6’nın ispatı determinantların kofaktör açılımlarının göz önüne alınması ile hemen görülür.